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FUNÇÕES COMPOSTAS

Compondo Funções

O processo de composição de funções começa pela definição de duas ou mais funções. Por exemplo,

> f:=x->x^2-x;

> g:=x->sqrt(x);

> g(f(x));

Obs: No Maple, uma das formas de definir uma função é como nos dois primeiros passos acima.

Usando o procedimento acima , determine g(f(x)) das funções abaixo :

> f:=x->x^2+4*x+1;

> g:=x->sqrt(x-2);

Vamos adaptar o procedimento e achar a função composta f(g(x)), como mostramos abaixo :

> g(f(x));

Como comparar f(g(x)) e g(f(x)) ?
> f(g(x));

g(f(x)) = [Maple Math] e f(g(x)) =
É claro que elas são totalmente diferentes;

considere duas funções diferentes e [Maple Math]

> h:=x->3*x-8;

> m:=x->(x+8)/3;

Examine as composições h(m(x)) e m(h(x)) abaixo :

> h(m(x));

> m(h(x));

Compare os resultados das funções nas duas direções e descreva o que você achou :

h(m(x)) = m(h(x)) =

Quando duas funções, tais como as funções h e m descritas acima, são compostas nas duas direções e o resultado for a função identidade, elas são chamadas de funções inversas. Isto é, h(m(x)) = e m(h(x)) = .

Descubra se as funções f e g abaixo são ou não inversas.

> f:=x->1-2*x;

> g:=x->-(x+1)/2;

> f(g(x));

> g(f(x));

Explique se as funções f e g são inversas ou não ????????

Se s e v são funções de t, determine se elas são inversas ou não.

> s:=t->2+1/t;

> v:=t->1/(2-t);

> s(v(t));

> v(s(t));

Explique se as funções s e v são inversas ou não

Gráficos de Funções Compostas

É mais útil observar o gráfico de uma função quando temos de determinar o seu domínio. Por exemplo, considere as funções r(x), p(x) e p(r(x)) definidas abaixo :

> r:=x->4*x^2-1;

> p:=x->sqrt(x);

> p(r(x));

(em verde ) , ( em vermelho ) e ( em amarelo )

> plot({r(x),p(x),p(r(x))},x=-3..3,y=-2..10,numpoints=1000);

[Maple Plot]

    Baseado no gráfico acima, qual é o
    a) menor valor possível para x em r(x)?

    b) maior valor possível para x em r(x)?

c) domínio de r(x)?

d) menor valor possível para x em p(x)?

e) maior valor possível para x em p(x)?

f) domínio de p(x)?

g) menor valor possível para x em p(r(x))?

h) maior valor possível para x em p(r(x))?

i) domínio de p(r(x))?

    Respostas
    a) -
    b)
    c) ]- ,[
    d) 0
    e)
    f) [0, [
    g) -
    h)
    i) ] -, - 1/2] U [ 1/2, [

Discuta como o domínio de r(p(x)) compara-se com o domínio de p(r(x)).

> r(p(x));

Sendo r(p(x)) = , o gráfico de r(p(x)) é uma reta. No entanto, o domínio de p(x) é [0, [ , o que implica em que o domínio de r(p(x)) também será de [0,[.

Aprofundando Seus Conhecimentos

Se a função F é dada por [Maple Math] , ache as duas funções f e g tais que